Le Cœur du Dernier Théorème de Fermat Vient de Gagner une Puissance Inédite
En février 2025, une équipe de quatre mathématiciens a réussi à étendre la connexion de modularité des courbes elliptiques aux surfaces abéliennes, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives dans la théorie des nombres. Cette avancée, fruit de près d'une décennie de travail, pourrait révolutionner notre compréhension des équations diophantiennes et renforcer les fondements du programme Langlands.
Frank Calegari, George Boxer, Toby Gee et Vincent Pilloni ont démontré que toute surface abélienne ordinaire peut être associée à une forme modulaire. Ce résultat, publié dans une preuve de 230 pages, s'appuie sur des techniques innovantes développées par Lue Pan en 2020.
Leur approche a consisté à utiliser l'arithmétique modulaire pour établir des correspondances entre les nombres décrivant les solutions des surfaces abéliennes et ceux des formes modulaires. Bien que limitée aux surfaces ordinaires, cette découverte permet déjà de formuler de nouvelles conjectures, comme une version étendue de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Les implications sont vastes : comme l'explique Andrew Sutherland du MIT, 'ce théorème rend accessibles des problèmes qui semblaient hors de portée'. L'équipe collabore désormais avec Lue Pan pour étendre ces résultats aux surfaces non ordinaires, avec l'ambition de résoudre d'ici dix ans la majorité des cas restants.
